Question

16．已知p：|x-a|＜3（a為常數(shù)）；q：代數(shù)式$\sqrt{x+1}+lg（6-x）$有意義．
（1）若a=1，求使“p∧q”為真命題的實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）利用p是q的充分不必要條件，建立不等式關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：p：|x-a|＜3等價(jià)于：-3＜x-a＜3即a-3＜x＜a+3；
q：代數(shù)式$\sqrt{x+1}+lg（6-x）$有意義等價(jià)于：
$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{6-x＞0}\end{array}}\right.$，即-1≤x＜6 …（2分）
（1）a=1時(shí)，p即為-2＜x＜4
若“p∧q”為真命題，則$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜x＜4}\\{-1≤x＜6}\end{array}}\right.$，得：-1≤x＜4
故a=1時(shí)，使“p∧q”為真命題的實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-1，4），…（5分）
（2）記集合A={x|a-3＜x＜a+3}，B={x|-1≤x＜6}
若p是q成立的充分不必要條件，則A?B，…（7分）
因此：$\left\{{\begin{array}{l}{a-3≥-1}\\{a+3≤6}\end{array}}\right.$，
∴2≤a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義建立不等式關(guān)系解決本題的關(guān)鍵．