Question

5．下列命題中，錯誤的是（　　）

• A． ?x∈（0，$\frac{π}{2}$），x＞sinx
• B． 在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB
• C． 函數(shù)f（x）=tanx圖象的一個對稱中心是（$\frac{π}{2}$，0）
• D． ?x₀∈R，sinx₀cosx₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由y=sinx-x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷在（0，$\frac{π}{2}$）的單調(diào)性，即可判斷A；
運用三角形的邊角關(guān)系和正弦定理，即可判斷B；
由函數(shù)f（x）=tanx圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z，即可判斷C；
運用二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，即可判斷D．

解答 解：對于A，?x∈（0，$\frac{π}{2}$），由y=sinx-x的導(dǎo)數(shù)y′=cosx-1＜0，可得y=sinx-x在（0，$\frac{π}{2}$）遞減，可得sinx-x＜sin0-0=0，即x＞sinx成立；
對于B，在△ABC中，若A＞B，即a＞b，即有2RsinA＞2RsinB，則sinA＞sinB成立；
對于C，函數(shù)f（x）=tanx圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z，當(dāng)k=1時，即有（$\frac{π}{2}$，0），成立；
對于D，sinxcosx=$\frac{1}{2}$•2sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x≤$\frac{1}{2}$，但$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，則不存在x₀∈R，sinx₀cosx₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故不成立．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是全稱命題和存在性命題的判斷和正切函數(shù)的對稱中心，以及正弦定理的運用，考查判斷能力，屬于中檔題和易錯題．