Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂．
（1）求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線$θ=\frac{π}{3}$與C₁的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）求出C₁，C₂的普通方程，即可求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）利用極徑的意義，求線段AB的長度．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），
則由$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$得：x=4cosα，y=4+4sinα，消參得：x²+（y-4）²=16．
轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得：ρ=8sinθ，所以C₂的極坐標(biāo)方程ρ=8sinθ，
同理可得C₁的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ．
（2）在極坐標(biāo)系，可得$OA=ρ=4sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，$OB=ρ=8sin\frac{π}{3}=4\sqrt{3}$，
所以$|AB|=OB-OA=2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查極徑的意義，屬于中檔題．