Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且b=$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$sinC=（sinA+$\sqrt{3}$cosA）sinB，則AC邊上的高的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，結(jié)合sinA≠0，可求tanB=$\sqrt{3}$，得解B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可得3≥ac，設(shè)AC邊上的高為h，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinC=$\sqrt{3}$sin（A+B）=（sinA+$\sqrt{3}$cosA）sinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB+$\sqrt{3}$cosAsinB=sinAsinB+$\sqrt{3}$cosAsinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，
∴$\sqrt{3}$cosB=sinB，可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵b=$\sqrt{3}$，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，（當且僅當a=c時等號成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，（當且僅當a=c時等號成立），
設(shè)AC邊上的高為h，則$\frac{1}{2}$bh_max=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$h_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴解得：h_max=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．