Question

19．設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三條邊長，則下列結論中正確的個數是（　　）
①對于一切x∈（-∞，1）都有f（x）＞0；
②存在x＞0使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則存在x∈（1，2），使f（x）=0．

• A． 3個
• B． 2個
• C． 1個
• D． 0個

Answer 1

分析 ①利用指數函數的性質以a．b．c構成三角形的條件進行證明；
②可以舉反例進行判斷；
③利用函數零點的存在性定理進行判斷．

解答 解：對于①，a，b，c是△ABC的三條邊長，∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
當x∈（-∞，1）時，f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]
＞c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，∴①正確；
對于②，令a=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構成三角形，∴②正確；
對于③，c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴由根的存在性定理可知在區(qū)間（1，2）上存在零點，
即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正確；
綜上，正確命題的個數為3個．
故選：A．

點評 本題考查了函數零點的存在性定理，指數函數的性質，以及余弦定理的應用問題，是綜合題．