Question

17．設(shè)f₁（x）=sinx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f${\;}_{n+{1}_{\;}}$（x）=f_n′（x），n∈N*，若△ABC的內(nèi)角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₈（A）=0，則cosA的值為（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式直接進(jìn)行求導(dǎo)，得到函數(shù)f_n（x）具備周期性，然后根據(jù)周期性將條件進(jìn)行化簡，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f₁（x）=sinx，f_n+1（x）=f′_n（x），
∴f₂（x）=f′₁（x）=cosx，
f₃（x）=f′₂（x）=-sinx，
f₄（x）=f'₃（x）=-cosx，
f₅（x）=f′₄（x）=sinx，
f₆（x）=f′₅（x）=cosx，
∴f_n+1（x）=f′_n（x），具備周期性，周期性為4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=cosx-sinx+sinx-cosx=0，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₈（A）=0，
∴f₁（A）+f₂（A）=sinA+cosA=0，
∴A=135°，故cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用條件得到函數(shù)具備周期性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．