Question

12．給出下列命題：
①函數(shù)$y=2{cos^2}（\frac{1}{3}x+\frac{π}{4}）-1$是奇函數(shù)；
②存在實(shí)數(shù)α，使得$inα+cosα=\frac{3}{2}$；
③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
④$x=\frac{π}{8}$是函數(shù)$y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一條對(duì)稱軸方程；
⑤函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{12}，0）$成中心對(duì)稱圖形．
其中命題正確的是①③④（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①由降冪公式化簡判斷即可；
②可由sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$判斷；
③根據(jù)正切函數(shù)的圖象判斷即可；
④⑤根據(jù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的性質(zhì)判斷．

解答 解：①函數(shù)$y=2{cos^2}（\frac{1}{3}x+\frac{π}{4}）-1$
=-sin$\frac{2x}{3}$，是奇函數(shù)，正確；
②存在實(shí)數(shù)α，使得sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，故錯(cuò)誤；
③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ，顯然成立；
④$x=\frac{π}{8}$是函數(shù)$y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$，f（$\frac{π}{8}$）=-1，是一條對(duì)稱軸方程，故正確；
⑤函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{12}，0）$，f（$\frac{π}{12}$）=1，不是對(duì)稱中心，故錯(cuò)誤．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，降冪公式和同角的正弦余弦和差問題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．