Question

6．如圖，已知點M在圓O：x²+y²=4上運動，MN⊥y軸（垂足為N），點Q在NM的延長線上，且|QN|=2|MN|．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m與（Ⅰ）中動點Q的軌跡交于兩個不同的點A和B，圓O上存在兩點C、D，滿足|CA|=|CB|，|DA|=|DB|．
（�。┣髆的取值范圍；
（ⅱ）求當$\frac{|CD|}{|AB|}$取得最小值時直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（x₀，y₀），丨QN丨=2丨MN丨，則x=2x₀，y=2y₀，代入圓的方程，即可求得動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）（�。┐�入橢圓方程，由△＞0，求得m的取值范圍，利用韋達定理及中點坐標公式，及|CA|=|CB|，|DA|=|DB|，即可求得m的取值范圍；
（ⅱ）由弦長公式，求得丨AB丨及直線2x+y+$\frac{3m}{2}$=0與圓的相交弦丨CD丨，求得$\frac{|CD|}{|AB|}$的表達式，求得$\frac{|CD|}{|AB|}$的最小值，即可求得m的值，求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動點Q（x，y），點M（x₀，y₀），
由點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上，則x₀²+y₀²=4，
由丨QN丨=2丨MN丨，則x=2x₀，y=2y₀，
把x₀=$\frac{x}{2}$，y₀=y代入x₀²+y₀²=4，
得動點Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．（4分）
（Ⅱ）（�。┞�(lián)立直線l與（Ⅰ）中的軌跡方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
∴x²+2mx+2m²-8=0，由于有兩個交點A、B，故△＞0，解得丨m丨＜2$\sqrt{2}$，①（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），AB的中點E（x，y），由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-m，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-m}\\{y=\frac{1}{2}×（-m）+m=\frac{m}{2}}\end{array}\right.$
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-m}\\{y=\frac{1}{2}×（-m）+m=\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，
故AB的垂直平分線方程為y-$\frac{m}{2}$=-2（x+m），即2x+y+$\frac{3m}{2}$=0．（6分）
由圓O上存在兩點C、D，滿足丨CA丨=丨CB丨，丨DA丨=丨DB丨，
可知AB的垂直平分線與圓O交于C、D兩點，由直線與圓的位置關(guān)系可得$\frac{丨\frac{3m}{2}丨}{\sqrt{5}}$＜2，
解得：丨m丨＜$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，②
由①、②解得丨m丨＜2$\sqrt{2}$，
∴m的取值范圍是-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．（8分）
（ⅱ）由（�。┲�$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-8}\end{array}\right.$，
則丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-8）}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\sqrt{32-4{m}^{2}}$，（9分）
又直線2x+y+$\frac{3m}{2}$=0與圓的相交弦丨CD丨=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{丨\frac{3m}{2}丨}{\sqrt{5}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{80-9{m}^{2}}{20}}$，（10分）
∴$\frac{丨CD丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\sqrt{\frac{80-9{m}^{2}}{20}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{32-4{m}^{2}}}$=$\frac{2}{5}$•$\sqrt{\frac{80-9{m}^{2}}{32-4{m}^{2}}}$=$\frac{2}{5}$•$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{2}{8-{m}^{2}}}$，
由（�。�-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$，故當m=0時，$\frac{丨CD丨}{丨AB丨}$=$\frac{2}{5}$•$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{2}{8-{m}^{2}}}$，取得最小值，（11分）
故直線l方程為y=$\frac{1}{2}$x．（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及弦長公式，考查計算能力，屬于難題．