Question

8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中b≠c，
且bcosB=ccosC，延長(zhǎng)線(xiàn)段BC到點(diǎn)D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，
（Ⅰ）求證：∠BAC是直角；
（Ⅱ）求tan∠D的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式即可證明，
（Ⅱ）如圖所示：過(guò)點(diǎn)C做CE⊥AC，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，設(shè)CE=x，則AB=5x，AD=$\frac{5}{2}$x，再根據(jù)勾股定理可得x的值，再由正弦定理，sinD=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：由正弦定理可得sinBcosB=sinCcosC，
即sin2B=sin2C，
∵b≠c，
∴2B+2C=180°，
∴B+C=90°，
∴∠BAC=180°-90°=90°，
（Ⅱ）：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C做CE⊥AC，
∵BC=4，BC=4CD，
∴CD=1，BD=5，
∵∠BAC=90°，
∴CE∥AB，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{5}$，
設(shè)CE=x，則AB=5x，
∵∠CAD=30°，
∴AE=2x，AC=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{DE}{DE+2x}$=$\frac{1}{5}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$x，
∵AB²+AC²=BC²，
∴25x²+3x²=16，
解得x=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
在△CED中，∠CED=120°，CE=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，CD=1，
由正弦定理可得$\frac{CE}{sinD}$=$\frac{CD}{sin∠CED}$，
即sinD=$\frac{\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
cosD=$\sqrt{1-si{n}^{2}D}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴tanD=$\frac{sinD}{cosD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)以及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理和正弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．