Question

20．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點且$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=8a，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，3]
• B． [3，+∞）
• C． （1，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 設|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據(jù)雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|²=8a|PF₂|，得到n=2a，m=4a，同時利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，推斷出2c≤6a，進而求得a和c的不等式關系，分析當p為雙曲線頂點時，$\frac{c}{a}$=3且雙曲線離心率e＞1，綜上即可求得雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
根據(jù)雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|²=8a|PF₂|，
∴m-n=2a，m²=8an，
∴$\frac{m-n}{{m}^{2}}$=$\frac{2a}{8an}$，
∴m²-4mn+4n²=0，
∴m=2n，
∴n=2a，m=4a，
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
∴2c＜4a+2a，
∴$\frac{c}{a}$＜3，
當p為雙曲線頂點時，$\frac{c}{a}$=3
又∵雙曲線e＞1，
∴1＜e≤3，
故選A．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，三角形邊與邊之間的關系，考查計算能力，屬于中檔題．