Question

11．在數(shù){a_n}中，a₁=1，且滿足a_n+1=3a_n
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出a_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n，求證{b_n}為等差數(shù)列并求出{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）在數(shù)列a_n}中，a₁=1，且滿足a_n+1=3a_n．可得a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，利用定義即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=log₃a_n=n-1，作差b_n-b_n-1，為常數(shù)即可證明．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 證明：（1）在數(shù)列a_n}中，a₁=1，且滿足a_n+1=3a_n．
∴a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項為1，公比為3．
∴a_n=3^n-1．
（2）由（1）可得：b_n=log₃a_n=n-1，
∴b_n-b_n-1=n-（n-1）=1．
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，首項為0，公差為1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和=$\frac{n（0+n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．