Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-a|（a∈R）
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求證a+b+c≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）+a≥0恒成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，要保證f（x）≥-a恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a，解得a≥-1，∴0＞a≥-1
綜上所述，a≥-1．（5分）
（2）由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3
所以-$\sqrt{3}$≤a+b+c≤$\sqrt{3}$
所以：a+b+c≤$\sqrt{3}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查不等式的相關(guān)知識(shí)，考查柯西不等式，具體涉及到絕對(duì)值不等式及不等式證明等內(nèi)容．