Question

14．（1）已知a、b是不相等正常數(shù)，正數(shù)x、y滿足，求證$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{x+y}$，并指出等號(hào)成立的條件；
（2）求函數(shù)$f（x）=\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}（{x∈（{0，\frac{1}{2}}）}）$的最小值，指出取最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可證明結(jié)論；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，
∴$（{x+y}）（{\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}}）≥{a^2}+{b^2}+\frac{{y{a^2}}}{x}+\frac{{x{b^2}}}{y}≥{a^2}+{b^2}+2ab={（{a+b}）^2}$，
∴$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{x+y}$，等號(hào)成立的條件是$\frac{x}{y}$=$\frac{a}$；
（2）由題得f‘（x）=$\frac{2（x+1）（5x-1）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$，
0$＜x＜\frac{1}{5}$，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，$\frac{1}{5}$$＜x＜\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x=$\frac{1}{5}$時(shí)，f（x）取得極小值25，f（x）的極小值即為其最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．