Question

13．已知拋物線C；y²=2px過點A（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點P（3，-1）的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點（均與點A不重合），設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點P（3，-1）的直線l的方程為x-3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y²=x利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求k₁•k₂的值．

解答 解：（1）由題意拋物線y²=2px過點A（1，1），所以p=$\frac{1}{2}$，
所以得拋物線的方程為y²=x；
（2）證明：設(shè)過點P（3，-1）的直線l的方程為x-3=m（y+1），即x=my+m+3，
代入y²=x得y²-my-m-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=m，y₁y₂=-m-3，
所以k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+m（m+2）{y}_{1}{y}_{2}+（m+2）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．