Question

5．已知點A（1，2）、B（5，-1），
（1）若A，B兩點到直線l的距離都為2，求直線l的方程；
（2）若A，B兩點到直線l的距離都為m（m＞0），試根據m的取值討論直線l存在的條數，不需寫出直線方程．

Answer 1

分析 （1）要分為兩類來研究，一類是直線L與點A（1，2）和點B（5，-1）兩點的連線平行，一類是線L過兩點A（1，2）和點B（5，-1）中點，分類解出直線的方程即可；
（2）根據A，B兩點與直線l的位置關系以及m與兩點間距離5的一半比較，得到滿足條件的直線．

解答 解：∵|AB|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=5，$\frac{1}{2}$|AB|＞2，
∴A與B可能在直線l的同側，也可能直線l過線段AB中點，
①當直線l平行直線AB時：k_AB=$\frac{-1-2}{5-1}=-\frac{3}{4}$，可設直線l的方程為y=-$\frac{3}{4}$x+b
依題意得：$\frac{|-\frac{3}{4}-2+b|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2，解得：b=$\frac{21}{4}$或b=$\frac{1}{4}$，
故直線l的方程為：3x+4y-1=0或3+4y-21=0；
②當直線l過線段AB中點時：AB的中點為（3，$\frac{1}{2}$），可設直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=k（x-3）
依題意得：$\frac{|4k+3|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$=2，解得：k=$\frac{7}{24}$，
故直線l的方程為：$\frac{7}{24}$x-2y-$\frac{3}{4}$=0；
（2）A，B兩點到直線l的距離都為m（m＞0），AB平行的直線，滿足題意得一定有2條，
經過AB中點的直線，
若2m＜|AB|，則有2條；
若2m=|AB|，則有1條；
若2m＞|AB|，則有0條，
∵|AB|=5，
綜上：當m＜2.5時，有4條直線符合題意；
當m=2.5時，有3條直線符合題意；
當m＞2.5時，有2條直線符合題意．

點評 本題考查點到直線的距離公式，求解本題關鍵是掌握好點到直線的距離公式與中點坐標公式，對空間想像能力要求較高，考查了對題目條件分析轉化的能力