Question

8．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=3，AD=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，P點在底面ABCD內(nèi)的射影E在線段AB上，且PE=2，BE=2EA，F(xiàn)為AD的中點，M在線段CD上，且CM=λCD．
（Ⅰ）當λ=$\frac{2}{3}$時，證明：平面PFM⊥平面PAB；
（Ⅱ）當平面PAM與平面ABCD所成的二面角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$時，求四棱錐P-ABCM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接EC，作AN∥EC交CD于點N，運用平面幾何知識，可得四邊形AECN為平行四邊形，BE⊥EC．再由線面垂直的判定定理可得FM⊥平面PAB，運用面面垂直的判定定理即可得證；
（Ⅱ）以E為坐標原點，EB，EC，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出A，P，C，D的坐標，以及向量AP，AM的坐標，平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，0，1）$．設(shè)平面PAM的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，求出一個法向量n，再由向量數(shù)量積的夾角公式，結(jié)合棱錐的體積公式計算即可得到所求．

解答 （Ⅰ）證明：連接EC，作AN∥EC交CD于點N，
則四邊形AECN為平行四邊形，CN=AE=1，
在△BCE中，BE=2，$BC=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
由余弦定理得EC=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2．
所以BE²+EC²=BC²，從而有BE⊥EC．
在△AND中，F(xiàn)，M分別是AD，DN的中點，
則FM∥AN，F(xiàn)M∥EC，
因為AB⊥EC，所以FM⊥AB．
由PE⊥平面ABCD，F(xiàn)M?平面ABCD，
得PE⊥FM，又FM⊥AB，PE∩AB=E，
得FM⊥平面PAB，又FM?平面PFM，
所以平面PFM⊥平面PAB．
（Ⅱ）以E為坐標原點，EB，EC，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（-1，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），D（-3，2，0），
$\overrightarrow{AP}=（1，0，2）$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+λ\overrightarrow{CD}=（1-3λ，2，0）$．
平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，0，1）$．
設(shè)平面PAM的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=0$，得$\left\{\begin{array}{l}x+2z=0\\（1-3λ）x+2y=0\end{array}\right.$令x=2，得$\overrightarrow n=（2，3λ-1，-1）$．
由題意可得，$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}$=$\frac{1}{{\sqrt{5+{{（3λ-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$，
所以四棱錐P-ABCM的體積V_P-ABCM=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCM•PE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1+3）×2×2=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直的判定定理，考查二面角的平面角的求法，注意運用向量法，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．