Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數方程為 (t為參數)，曲線C1的方程為ρ(ρ－4sin θ)＝12，定點A(6，0)，點P是曲線C1上的動點，Q為AP的中點．

(1)求點Q的軌跡C2的直角坐標方程；

(2)直線l與直線C2交于A，B兩點，若|AB|≥2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(x－3)2＋(y－1)2＝4，（2）

【解析】

（1）先根據將曲線C1的極坐標方程化為直角坐標方程，再根據中點坐標公式得用Q坐標表示P，代入點P滿足得曲線C1直角坐標方程，即得點Q的軌跡C2的直角坐標方程；（2）根據垂徑定理得圓心(3，1)到直線的距離不大于1，再消參數得直線l的直角坐標方程，最后利用點到直線距離公式化簡不等式，解出實數a的取值范圍．

(1)根據題意得，

曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝12，

設點P(x′，y′)，Q(x，y)，

根據中點坐標公式，得

代入x2＋y2－4y＝12，

得點Q的軌跡C2的直角坐標方程為(x－3)2＋(y－1)2＝4，

(2)直線l的直角坐標方程為y＝ax，根據題意，得圓心(3，1)到直線的距離d≤＝1，即≤1，

解得0≤a≤.

∴實數a的取值范圍為.