Question

19．在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），直線l的方程為x+$\sqrt{3}$y-9=0，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C和直線l的極坐標方程；
（2）射線OA：θ=$\frac{π}{6}$與圓C的交點是O，M，與直線l的交點為N，求線段MN的長．

Answer 1

分析 （1）由圓的參數(shù)方程消去參數(shù)求出圓C的普通方程，由此能求出圓C極坐標方程；由直線l的直角坐標方程，能求出直線l的極坐標方程．
（2）射線OA：θ=$\frac{π}{6}$的直角坐標方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，聯(lián)立方程組分別求出M和N的坐標，由此利用兩點間距離公式能求出線段MN的長．

解答 解：（1）∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴圓C的普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=4，
∴圓C極坐標方程為ρ²-4ρ-4=0．
∵直線l的方程為x+$\sqrt{3}$y-9=0，
∴直線l的極坐標方程為$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ$-9=0．
（2）射線OA：θ=$\frac{π}{6}$的直角坐標方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，得O（0，0），M（3，$\sqrt{3}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-9=0}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，得N（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴線段MN的長|MN|=$\sqrt{（3-\frac{9}{2}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓和直線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．