Question

已知在平面直角坐標系xOy中，點M到點F（2，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多2，記點M的軌跡為C．
（1）求軌跡為C的方程；
（2）設斜率為k的直線l過定點P（-4，2），求直線l與軌跡C恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出M點的坐標，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；
（2）設出直線l的方程為y-1=k（x+2），和（1）中的軌跡方程聯立化為關于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y-1=k（x+2）中取y=0得到x₀=-

2

k

-4．然后分判別式小于0、等于0、大于0結合x₀＜0求解使直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍．

解答： 解：（1）設M（x，y），依題意得：|MF|=|x|+2，即

(x-2)2+y2

=|x|+2，
化簡得，y²=4|x|+4x．
∴點M的軌跡C的方程為y²=

8x，x≥0 0，x＜0

；
（2）在點M的軌跡C中，記C₁：y²=8x（x≥0），C₂：y=0（x＜0）．
依題意，可設直線l的方程為y-2=k（x+4）．
代入拋物線方程，可得ky²-8y+16（2k+1）=0．
①當k=0時，此時y=2，把y=2代入軌跡C的方程，得x=

1

2

．
故此時直線l：y=2與軌跡C恰好有一個公共點（

1

2

，2）．
②當k≠0時，方程ky²-8y+16（2k+1）=0的判別式為△=-64（2k²+k-1）．
設直線l與x軸的交點為（x₀，0），
則由y-2=k（x+4），取y=0得x₀=-

2

k

-4．
若△＜0，x₀=-

2

k

-4＜0，解得k＜-1或k＞

1

2

．
即當k＜-1或k＞

1

2

時，直線l與C₁沒有公共點，與C₂有一個公共點，
故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點．
若△=0，x₀=-

2

k

-4＜0或△＞0，x₀=-

2

k

-4≥0，解得k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0．
即當k=-1或k=

1

2

時，直線l與C₁只有一個公共點，與C₂有一個公共點．
當-

1

2

≤k＜0時，直線l與C₁有兩個公共點，與C₂無公共點．
故當k=-1或k=

1

2

或-

1

2

≤k＜0時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點．
若△＞0，x₀=-

2

k

-4＜0，解得-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

．
即當-1＜k＜-

1

2

或0＜k＜

1

2

時，直線l與C₁有兩個公共點，與C₂有一個公共點．
此時直線l與C恰有三個公共點．

點評：本題考查軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，體現了分類討論的數學思想方法，重點是做到正確分類，是中檔題．