Question

7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，E為AC與BD的交點，PA⊥平面ABCD，M為PA中點，N為BC中點．
（1）證明：直線MN∥平面PCD；
（2）若點Q為PC中點，∠BAD=120°，PA=$\sqrt{3}$，AB=1，求三棱錐A-QCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD中點R，連結(jié)MR，CR，通過證明四邊形MNCR是平行四邊形得出MN∥CR，于是MN∥平面PCD；
（2）棱錐Q-ACD的底面△ACD為等邊三角形，高為PA的$\frac{1}{2}$，代入體積公式計算即可．

解答 解：（1）取PD中點R，連結(jié)MR，CR，
∵M(jìn)是PA的中點，R是PD的中點，
∴MR=$\frac{1}{2}$AD，MR∥AD，
∵四邊形ABCD是菱形，N為BC的中點，
∴NC=$\frac{1}{2}AD$，NC∥AD．
∴NC∥MR，NC=MR，
∴四邊形MNCR為平行四邊形，
∴MN∥CR，又CR?平面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC=AD=CD=1，∴${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
∵Q是PC的中點，∴Q到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${V_{A-QCD}}={V_{Q-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×\frac{1}{2}PA=\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．