Question

17．定義在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的函數f（x），滿足$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，且當$x∈[{\frac{1}{π}，1}]$時，f（x）=lnx，若函數g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{lnπ}{π}，0}]$
• B． [-πl(wèi)nπ，0]
• C． $[{-\frac{1}{e}，\frac{lnπ}{π}}]$
• D． $[{-\frac{e}{2}，-\frac{1}{π}}]$

Answer 1

分析 由題意，找出x∈（1，π]的解析式，畫出f（x）定義在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的圖形，利用直線y=ax與f（x）的交點個數得到a的范圍．

解答 解：因為當$x∈[{\frac{1}{π}，1}]$時，f（x）=lnx，
所以x∈（1，π]時，$\frac{1}{x}∈[\frac{1}{π}，1]$，所以f（$\frac{1}{x}$）=-lnx，此時$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，故f（x）=-lnx，x∈（1，π]．
所以f（x）在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的圖象如圖，要使函數g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零點，只要直線y=ax與f（x）的圖象有交點，
由圖象可得，k_OA≤a≤0，其中${k}_{OA}=\frac{ln\frac{1}{π}}{\frac{1}{π}}=-πl(wèi)nπ$，
所以使函數g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零點，則實數a的取值范圍是[-πl(wèi)nπ，0]．
故選：B．

點評 本題考查通過將定義域轉變到已知函數的定義域上求函數解析式的方法，數形結合解題的方法，關鍵是將零點個數轉化為函數圖象的交點個數解答．