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16.已知函數(shù)fx=1+lnxx,證明:f(x)≤1.

分析 令g(x)=lnx-x+1,g'(x)=1x-1,確定函數(shù)的單調(diào)性,證明g(x)=lnx-x+1≤g(1)=0,即可證明結(jié)論.

解答 證明:f(x)≤1,只需要證明 lnx+1≤x.
令g(x)=lnx-x+1,g'(x)=1x-1 
x≥1時(shí),g'(x)≤0,所以g(x)是減函數(shù);0<x<1時(shí),g'(x)>0,g(x)是增函數(shù),
所以g(x)=lnx-x+1≤g(1)=0,
∴l(xiāng)nx+1≤x,∴fx=1+lnxx

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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