Question

17．已知 x＞1，y＞1，且 lg x，$\frac{1}{4}$，lg y 成等比數(shù)列，則 xy 有（　�。�

• A． 最小值10
• B． 最小值$\sqrt{10}$
• C． 最大值10
• D． 最大值  $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由題意和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，由條件和基本不等式列出不等式，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出xy的最小值．

解答 解：∵lg x，$\frac{1}{4}$，lg y成等比數(shù)列，
∴$（\frac{1}{4}）^{2}$=（lg x）（lg y），即 （lg x）（lg y）=$\frac{1}{16}$，
又 x＞1，y＞1，∴l(xiāng)g x＞0，lg y＞0，
∴l(xiāng)g x+lg y$≥2\sqrt{（lgx）（lgy）}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)lg x=lg y時(shí)，即x=y取等號(hào)，
∴l(xiāng)g x+lg y=lg（x y）≥$\frac{1}{2}$，則xy≥$\sqrt{10}$，
 即xy 有最小值是$\sqrt{10}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，基本不等式，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．