Question

12．若不等式（x+m²）²+（x+am-3）²＞$\frac{1}{2}$對任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，則實數a的取值范圍是a＜2$\sqrt{2}$或a＞5．

Answer 1

分析 數形結合，可以看出點到直線的距離．

解答 解：設P（x，x）Q（-m²，3-am），P在y=x直線上．
不等式左邊的幾何意義是PQ兩點距離的平方．

只要Q到y(tǒng)=x的距離平方大于$\frac{1}{2}$，即可．
d²=$\frac{（{m}^{2}+3-am）^{2}}{2}＞\frac{1}{2}$
∴m²+3-am＞1或m²+3-am＜-1
分離常數可得：$a＜m+\frac{2}{m}或a＞m+\frac{4}{m}$．在m∈[1，3]恒成立
用基本不等式解得：$a＜2\sqrt{2}或a＞5$
故答案為：$a＜2\sqrt{2}或a＞5$．

點評 看到平方和，想到兩點間距離的平方，P（x，x），在y=x上．Q到直線距離平方的最小值大于$\frac{1}{2}$．