Question

【題目】已知橢圓()的離心率為，以的短軸為直徑的圓與直線(xiàn)相切.

（1）求的方程；

（2）直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且.已知上存在點(diǎn)，使得是以為頂角的等腰直角三角形，若在直線(xiàn)的右下方，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由的短軸為直徑的圓與直線(xiàn)相切求出，再由離心率和關(guān)系，可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，消元整理，由根與系數(shù)關(guān)系，得到的兩個(gè)關(guān)系式，再?gòu)囊阎獥l件尋找第三個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)已知結(jié)合平面圖形，可得軸，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，則為線(xiàn)段的中點(diǎn)，得，進(jìn)而有，代入直線(xiàn)方程，得到等量關(guān)系，求解關(guān)于方程組，即可求出.

（1）依題意，，

因?yàn)殡x心率，

所以，解得，

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)的傾斜角為，

且是以為頂角的等腰直角三角形，

在直線(xiàn)的右下方，所以軸，

過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，則為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

所以，故，

所以，即，

整理得.①

由得.

所以，解得，

所以，②

，③

由①②得，，④

將④代入②得，⑤

將④⑤代入③得，解得.

綜上，的值為.