Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在內(nèi)有極值，試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)； （2）當時，；當時，；當時，.見解析

【解析】

（1）求導得到，討論，，三種情況計算得到答案.

（2）根據(jù)題意有一變號零點在區(qū)間上，得到，構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（1）定義域為，

設

當時，，此時，從而恒成立，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當時，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸，又

所以此時，從而恒成立，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當時，，設有兩個不同的實根，

共中，

令，則，

令，得或；令，得或，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).

綜上，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）要使在上有極值，由（1）知，①

則有一變號零點在區(qū)間上，不妨設，

又因為，∴，又，

∴只需，即，∴，②

聯(lián)立①②可得：.

從而與均為正數(shù).

要比較與的大小，同取自然底數(shù)的對數(shù)，

即比較與的大小，再轉(zhuǎn)化為比較與的大小.

構造函數(shù)，則，

再設，則，從而在上單調(diào)遞減，

此時，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，；

當時，；

當時，.