Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上存在點(diǎn)P，滿足P到y(tǒng)軸和到x軸的距離比為$\sqrt{3}$，則雙曲線離心率的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由題意可得，|x|=$\sqrt{3}$|y|，即為y²=$\frac{1}{3}$x²，代入雙曲線的方程，由雙曲線的x的范圍，結(jié)合離心率公式，即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)P（x，y），
由題意可得，|x|=$\sqrt{3}$|y|，
即有x²=3y²，即y²=$\frac{1}{3}$x²，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{3^{2}}$=1，
∴1≥a²（$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{3^{2}}$），且$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{3^{2}}$＞0，
∴3b²＞a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查離心率的范圍，注意運(yùn)用雙曲線的范圍，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．