Question

6．設正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的所有頂點都在球O的球面上，BC=2，E，F分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，則球O的表面積為（　�。�

• A． $\frac{3π}{2}$
• B． 6π
• C． 8π
• D． 12π

Answer 1

分析 根據EF與DE的垂直關系，結合正棱錐的性質，判斷三條側棱互相垂直，再求得側棱長，根據表面積公式計算即可

解答 解：∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF∥AC，
又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
取BD的中點O，連接AO、CO，
∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；
∴AC⊥AB，
設AC=AB=AD=x，則x²+x²=4⇒x=$\sqrt{2}$，
所以三棱錐對應的長方體的對角線為$\sqrt{3×2}$=$\sqrt{6}$，
所以它的外接球半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴球O的表面積為$4π•\frac{6}{4}$=6π
故選：B．

點評 本題考查了正三棱錐的外接球表面積求法，關鍵是求出三棱錐的三條側棱長度，得到對應的長方體對角線，即外接球的直徑．