Question

15．設函數(shù)f（x）=x-lnx+$\frac{ax+b}{{x}^{2}}$，曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[1，4]時，證明：f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），求出a，b的值，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）計算出f（x）-f′（x）=x-lnx+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，令g（x）=x-lnx，h（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）定義域為（0，+∞），$f'（x）=1-\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}-\frac{2b}{x^3}$，
由已知得f（1）=2，f'（1）=0，得：a=2，b=-1，
∴f′（x）=$\frac{{（x}^{2}-2）（x-1）}{{x}^{3}}$，由f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{2}$或0＜x＜1，由f′（x）＜0，得1＜x＜$\sqrt{2}$，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），（$\sqrt{2}$，+∞），單調遞減區(qū)間為（1，$\sqrt{2}$）；
（2）證明：由f（x）-f′（x）=x-lnx+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，
令g（x）=x-lnx，h（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-1，∵g′（x）=1-$\frac{1}{x}$（1≤x≤4），
∴g′（x）≥0，g（x）在[1，4]上為增函數(shù)，∴g（x）≥g（1）=1（x=1時取“=”），
而h′（x）=$\frac{-{3x}^{2}-2x+6}{{x}^{4}}$，由u（x）=-3x²-2x+6=0，得：x=$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$，
∴1≤x＜$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$時，u（x）＞0，$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$＜x≤4時，u（x）＜0，
∴h（x）在（1，$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$）為增函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{19}-1}{3}$，4）為減函數(shù)，而h（1）=1，h（4）=-$\frac{7}{32}$，
∴h（x）≥-$\frac{7}{32}$（x=4時取“=”），
∴f（x）-f′（x）＞g（1）+h（4）=$\frac{25}{32}$＞$\frac{3}{4}$，
即：f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道綜合題．