Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且an和Sn滿足：4Sn=（an+1）2（n=1，2，3…），
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn= ，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4Sn=（an+1）2，①

∴4Sn﹣1=（an﹣1+1）2（n≥2），②

①﹣②得

4（Sn﹣Sn﹣1）=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2．

∴4an=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2．

化簡(jiǎn)得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0．

∵an＞0，∴an﹣an﹣1=2（n≥2）．

∴{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

∴an=1+（n﹣1）2=2n﹣1

（2）解：bn= = = （ ﹣ ）．

∴Tn= +…+

= （1﹣ ）=

【解析】（1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．