Question

10．（1）求定積分$\int_1^3{|x-2|dx}$
（2）若復數(shù)Z₁=a+2i（a∈R），Z₂=3-4i（i為虛數(shù)單位）且$\frac{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$為純虛數(shù)，求|Z₁|

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定積分的計算法則計算即可；
（2）根據(jù)復數(shù)的運算法則和純虛數(shù)的定義，以及復數(shù)的模即可求出．

解答 解：（1）$\int_1^3{|x-2|dx}$=${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{2}^{3}$（x-2）dx
=（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{2}$x²-2x）|${\;}_{2}^{3}$=（4-2）-（2-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{9}{2}$-6）-（2-4）=1；
（2）復數(shù)Z₁=a+2i（a∈R），Z₂=3-4i（i為虛數(shù)單位）
∴$\frac{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$=$\frac{（a+2）（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}$=$\frac{3a-8+（6+4a）i}{25}$，
∵$\frac{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}$為純虛數(shù)，
∴3a-8=0，
即a=$\frac{8}{3}$，
∴|Z₁|=$\sqrt{\frac{64}{9}+4}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了定積分的計算和復數(shù)混合運算，考查了學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．