Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$），其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（　�。�

• A． $f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）$
• B． $f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$
• C． $f（x）=\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）$
• D． $f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定ω的值，將（$\frac{π}{3}$，0）代入解析式，結(jié)合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，可求出ϕ值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+ϕ），
∴f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ），
由圖可得：函數(shù)f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的最大值ωA=1，
又∵$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴T=π，ω=2，可得：A=$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=cos（2x+ϕ），
將（$\frac{π}{3}$，0）代入f′（x）=cos（2x+ϕ），得cos（$\frac{2π}{3}$+ϕ）=0，
即$\frac{2π}{3}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ϕ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=-$\frac{π}{6}$，
∴f′（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是由函數(shù)的部分圖象求三角函數(shù)解析式的方法，其中關(guān)鍵是要根據(jù)圖象分析出函數(shù)的最值，周期等，進(jìn)而求出A，ω和φ值，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．