Question

11．（1）已知橢圓的兩焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求此橢圓的方程；
（2）過點（3，-2）且與橢圓4x²+9y²=36有相同焦點的橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的標準方程，根據橢圓的性質，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）先根據橢圓4x²+9y²-36=0求得焦點坐標，進而求得橢圓的半焦距c，根據橢圓過點（3，-2）求得a，最后根據a和c與a的關系求得a和b即可．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）橢圓4x²+9y²=36的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，焦點F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），
設橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴橢圓的半焦距c=$\sqrt{5}$，即a²-b²=5
∵$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$，
∴解得：a²=15，b²=10
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查橢圓性質的應用，考查計算能力，屬于基礎題．