分析 (1)由→a∥→,得43=5cosα−4tanα=5cos2α−4sinα,從而15sin2α-16sinα-15=0,由此能求出sinα.
(2)由a→a⊥→,得→a•→=0,從而12-20sinα=0,進(jìn)而sinα=35,cosα=45,由二倍角公式求出sin2α,cos2α,由此能求出cos(2α−π4)的值.
解答 解:(1)∵向量→a=(4,5cosα),→=(3,-4tanα),→a∥→,
∴43=5cosα−4tanα=5cos2α−4sinα,
整理,得:15cos2α+16sinα=0,即15sin2α-16sinα-15=0,
解得sinα=-35或sinα=53(舍去),
∴sinα=-35.
(2)∵→a⊥\overrightarrow,∴→a•→=0,即12-20cosα•tanα=0,
∴12-20sinα=0,即sinα=35,
∵α∈(0,π2),∴cosα=45,
∴sin2α=2sinαcosα=2425,
cos2α=1-2sin2α=725,
∴cos(2α−π4)=cos2αcosπ4+sin2αsinπ4
=725×√22+2425×√22=31√250.
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法,考查向量平行、向量垂直、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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