2.已知向量$\overrightarrow{a}$=(4,5cosα),$\overrightarrow$=(3,-4tanα).
(1)若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,求sinα的值;
(2)若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,且α為銳角,求cos(2α-$\frac{π}{4}$)的值.

分析 (1)由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,得$\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}$=$\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα}$,從而15sin2α-16sinα-15=0,由此能求出sinα.
(2)由a$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0,從而12-20sinα=0,進(jìn)而sinα=$\frac{3}{5}$,cosα=$\frac{4}{5}$,由二倍角公式求出sin2α,cos2α,由此能求出cos(2$α-\frac{π}{4}$)的值.

解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{a}$=(4,5cosα),$\overrightarrow$=(3,-4tanα),$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,
∴$\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}$=$\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα}$,
整理,得:15cos2α+16sinα=0,即15sin2α-16sinα-15=0,
解得sinα=-$\frac{3}{5}$或sinα=$\frac{5}{3}$(舍去),
∴sinα=-$\frac{3}{5}$.
(2)∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0,即12-20cosα•tanα=0,
∴12-20sinα=0,即sinα=$\frac{3}{5}$,
∵α∈(0,$\frac{π}{2}$),∴cosα=$\frac{4}{5}$,
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$,
cos2α=1-2sin2α=$\frac{7}{25}$,
∴cos(2$α-\frac{π}{4}$)=cos2αcos$\frac{π}{4}$+sin2αsin$\frac{π}{4}$
=$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法,考查向量平行、向量垂直、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.已知在某項(xiàng)射擊測(cè)試中,規(guī)定每人射擊3次,至少2次擊中8環(huán)以上才能通過(guò)測(cè)試.若某運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中8環(huán)以上的概率為$\frac{2}{3}$,且各次射擊相互不影響,則該運(yùn)動(dòng)員通過(guò)測(cè)試的概率為( 。
A.$\frac{20}{27}$B.$\frac{4}{9}$C.$\frac{8}{27}$D.$\frac{6}{9}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集,如果點(diǎn)x0∈R滿足:對(duì)任意a>0,都存在x∈X,使得|x-x0|<a,那么稱x0為集合X的聚點(diǎn).用Z表示整數(shù)集,則在下列集合:①$\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z,}\right.n≥0\}$,②{x∈R|x≠0},③$\{\frac{1}{n}\left|{n∈Z,}\right.n≠0\}$,④整數(shù)集Z中,以0為聚點(diǎn)的集合有( 。
A.①②B.①③C.②③D.②④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{y-1≤0}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng),則z=x-y的最大值是( 。
A.-1B.-2C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}-1,x≤0}\\{|lg\frac{1}{x}|,x>0}\end{array}\right.$,若g(x)=f(x)-a有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+∞)∪{0}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.求圓x2+y2-2x+4y+1=0的圓心到雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知函數(shù)f(x)=x+sinx.x∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),
(1)若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),判斷并證明函數(shù)h(x)的奇偶性;
(2)若函數(shù)g(x)是單調(diào)增函數(shù),用反證法證明函數(shù)h(x)的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知A,B分別是離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn),右焦點(diǎn)F2到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{5}$.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)M(0,2)作直線l交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:0≤x≤1時(shí),f(x)=-x3+3x,且f(x-1)=f(x+1),若方程f(x)=loga(|x|+1)+1(a>0,a≠1)恰好有12個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(5,6)B.(6,8)C.(7,8)D.(10,12)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案