分析 (1)由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,得$\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}$=$\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα}$,從而15sin2α-16sinα-15=0,由此能求出sinα.
(2)由a$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0,從而12-20sinα=0,進(jìn)而sinα=$\frac{3}{5}$,cosα=$\frac{4}{5}$,由二倍角公式求出sin2α,cos2α,由此能求出cos(2$α-\frac{π}{4}$)的值.
解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{a}$=(4,5cosα),$\overrightarrow$=(3,-4tanα),$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,
∴$\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}$=$\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα}$,
整理,得:15cos2α+16sinα=0,即15sin2α-16sinα-15=0,
解得sinα=-$\frac{3}{5}$或sinα=$\frac{5}{3}$(舍去),
∴sinα=-$\frac{3}{5}$.
(2)∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0,即12-20cosα•tanα=0,
∴12-20sinα=0,即sinα=$\frac{3}{5}$,
∵α∈(0,$\frac{π}{2}$),∴cosα=$\frac{4}{5}$,
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$,
cos2α=1-2sin2α=$\frac{7}{25}$,
∴cos(2$α-\frac{π}{4}$)=cos2αcos$\frac{π}{4}$+sin2αsin$\frac{π}{4}$
=$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法,考查向量平行、向量垂直、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | $\frac{20}{27}$ | B. | $\frac{4}{9}$ | C. | $\frac{8}{27}$ | D. | $\frac{6}{9}$ |
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A. | ①② | B. | ①③ | C. | ②③ | D. | ②④ |
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A. | -1 | B. | -2 | C. | 1 | D. | 2 |
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A. | (5,6) | B. | (6,8) | C. | (7,8) | D. | (10,12) |
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