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2.已知向量a=(4,5cosα),=(3,-4tanα).
(1)若a,求sinα的值;
(2)若a,且α為銳角,求cos(2α-\frac{π}{4})的值.

分析 (1)由\overrightarrow{a}\overrightarrow,得\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}=\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα},從而15sin2α-16sinα-15=0,由此能求出sinα.
(2)由a\overrightarrow{a}\overrightarrow,得\overrightarrow{a}\overrightarrow=0,從而12-20sinα=0,進(jìn)而sinα=\frac{3}{5},cosα=\frac{4}{5},由二倍角公式求出sin2α,cos2α,由此能求出cos(2α-\frac{π}{4})的值.

解答 解:(1)∵向量\overrightarrow{a}=(4,5cosα),\overrightarrow=(3,-4tanα),\overrightarrow{a}\overrightarrow
\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}=\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα},
整理,得:15cos2α+16sinα=0,即15sin2α-16sinα-15=0,
解得sinα=-\frac{3}{5}或sinα=\frac{5}{3}(舍去),
∴sinα=-\frac{3}{5}
(2)∵\overrightarrow{a}\overrightarrow,∴\overrightarrow{a}\overrightarrow=0,即12-20cosα•tanα=0,
∴12-20sinα=0,即sinα=\frac{3}{5},
∵α∈(0,\frac{π}{2}),∴cosα=\frac{4}{5},
∴sin2α=2sinαcosα=\frac{24}{25},
cos2α=1-2sin2α=\frac{7}{25},
∴cos(2α-\frac{π}{4})=cos2αcos\frac{π}{4}+sin2αsin\frac{π}{4}
=\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{31\sqrt{2}}{50}

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法,考查向量平行、向量垂直、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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