Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+sinx．x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），
（1）若函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，判斷并證明函數(shù)h（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)g（x）是單調(diào)增函數(shù)，用反證法證明函數(shù)h（x）的圖象與x軸至多有一個交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）先判斷f（x）的奇偶性，再計算h（-x）與h（x）的關(guān)系得出結(jié)論；
（2）假設(shè)h（x）的圖象與x軸至少有兩個交點(diǎn)，不妨設(shè)兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則h（x₁）=h（x₂），于是（x₂）-g（x₁）=f（x₁）-f（x₂），根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出g（x）的單調(diào)性，從而得出矛盾．

解答 解：（1）h（x）是奇函數(shù)，證明如下：
∵f（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
又g（x）是奇函數(shù)，∴g（-x）=-g（x），
∴h（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-h（x），
∴h（x）是奇函數(shù)．
（2）假設(shè)h（x）的圖象與x軸至少有兩個交點(diǎn)，不妨設(shè)兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則h（x₁）=h（x₂）=0，
即f（x₁）+g（x₁）=f（x₂）+g（x₂），∴g（x₂）-g（x₁）=f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（sinx₁-sinx₂），
∵x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，sinx₁-sinx₂＜0
∴（x₁-x₂）+（sinx₁-sinx₂）＜0，即g（x₂）-g（x₁）＜0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）是減函數(shù)，與g（x）是增函數(shù)矛盾，
∴假設(shè)不成立，即函數(shù)h（x）的圖象與x軸至多有一個交點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性判斷，屬于中檔題．