Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=e^x
（Ⅰ）若F（x）=f（2^x）+kx為偶函數(shù)，求k的值；
（Ⅱ）判斷h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上的單調(diào)性，若h（x）具有單調(diào)性，請(qǐng)用定義證明；若不具有單調(diào)性，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得到2k+1=0，求出k的值即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)F（x）=log₂（2^x+1）+kx（k為常數(shù)）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即 log₂（ 2^-x+1）-kx=log₂（ 2^x+1）+kx，
即log₂（ 2^x+1）-x-kx=log₂（ 2^x+1）+kx，可得（2k+1）x=0，
∴2k+1=0，∴k=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（x）=log₂（x+1），g（x）=e^x在（-1，+∞）遞增，
∴h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)-1＜x₁＜x₂，
則h（x₁）-h（x₂）=log₂（x₁+1）+${e}^{{x}_{1}}$-log₂（x₂+1）-${e}^{{x}_{2}}$，
=log₂$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$+（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂，
∴$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＜1，${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，
故h（x₁）-h（x₂）＜0，
故h（x）在（-1，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．