Question

5．圖1是一段半圓柱形水渠的直觀圖，其橫斷面如圖2所示，其中C為半圓弧$\widehat{ACB}$的中點，壩寬AB為2米．
（1）當渠中水深CD為0.4米時，求水面的寬度；
（2）若把這條水渠改挖（不準填土）成橫斷面為等腰梯形的水渠，且使渠的底面與地面平行，則當改挖后的水渠底寬為多少時，所挖出的土量最少？

Answer 1

分析 （1）以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系xoy，推導出半圓的半徑為1米，求出半圓的方程、OD、DM，由此能求出水面的寬度．
（2）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與半圓相切，由此利用切線方程、導數性質能求出當渠底寬為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$米時，所挖的土最少．

解答 解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xoy，
∵AB=2米，∴半圓的半徑為1米，
則半圓的方程為x²+y²=1，（-1≤x≤1，y≤0），
∵水深CD=0.4米，∴OD=0.6米，
在Rt△ODM，DM=$\sqrt{O{M}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1-0．{6}^{2}}$=0.8（米），
∴MN=2DM=1.6米，
∴水面的寬度為1.6米．
（2）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與半圓相切，
設切點為P（cosθ，sinθ），（-$\frac{π}{2}$＜θ＜0）為圓弧BC上的一點，
過P作半圓的切線得如圖所示的直角梯形OCFE，得切線EF的方程為xcosθ+ysinθ=1，
令y=0，得E（$\frac{1}{cosθ}$，0），令y=-1，得F（$\frac{1+sinθ}{cosθ}$，-1），
設直線梯形OCFE的面積為S，
則S=（CF+OE）•OC=（$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1+sinθ}{cosθ}$）×1=$\frac{2+sinθ}{cosθ}$，（-$\frac{π}{2}$＜θ＜0），
S′=$\frac{cosθcosθ-（2+sinθ）（-sinθ）}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{1+2sinθ}{co{s}^{2}θ}$，
令S′=0，解得θ=-$\frac{π}{6}$，
當-$\frac{π}{2}＜θ＜-\frac{π}{6}$時，S′＜0，函數單調遞減；當-$\frac{π}{6}$＜θ＜0時，S′＞0，函數單調遞增．
∴$θ=-\frac{π}{6}$時，面積S取得最小值，最小值為$\sqrt{3}$，
此時CF=$\frac{1+sin（-\frac{π}{6}）}{cos（-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即當渠底寬為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$米時，所挖的土最少．

點評 本題考查水面的寬度的求法，考查當改挖后的水渠底寬為多少時，所挖出的土量最少的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切線方程、導數性質的合理運用．