Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a+e-2}{x}$（a≥0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線（1-e）x-y+1=0平行，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥a對于x＞0的一切值恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)求導，f'（1）=3-a-e，由題意得3-a-e=1-e，即可求a的值；
（2）將所要證明的式子變形，建立一個函數(shù)，求導后再建立一個新的函數(shù)，再求導．需要用到兩次求導．再來通過最值確定正負號，再來確實原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（ 1）函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a+e-2}{x}（a≥0）$的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a+e-2}{x^2}=\frac{x-a-e+2}{x^2}$，…（2分）
f'（1）=3-a-e，由題意得3-a-e=1-e，…（3分）
解得a=2．…（4分）
（2）不等式f（x）≥a對于x＞0的一切值恒成立，等價于xlnx+a+e-2-ax≥0對于x＞0的一切值恒成立．
記g（x）=xlnx+a+e-2-ax（x＞0），則g'（x）=lnx+1-a．…（6分）
令g'（x）=0，得x=e^a-1，當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，ea-1）	ea-1	（ea-1，+∞）
g'（x）	_	0	+
g（x）		極小

∴g（x）的最小值為g（e^a-1）=a+e-2-e^a-1．…（8分）
記h（a）=a+e-2-e^a-1（a≥0），則h'（a）=1-e^a-1，令h'（a）=0，得a=1．
當a變化時，h'（a），h（a）的變化情況如下表：

a	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（a）		+	0	-
h（a）	$e-2-\frac{1}{e}$	↗	極大值e-2	↘

∴當0≤a＜1時，函數(shù)h（a）在（0，1）上為增函數(shù)，$h（a）≥h（0）=e-2-\frac{1}{e}=\frac{e（e-2）-1}{e}＞0$，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＞0，滿足題意．…（10分）
當1≤a≤2時，函數(shù)h（a）在[1，2]上為減函數(shù)，h（a）≥h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）≥0，滿足題意．
當a＞2時，函數(shù)h（a）在（2，+∞）上為減函數(shù)，h（a）＜h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＜0，不滿足題意．
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為[0，2]．…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值．尤其是第二問需要對函數(shù)求導后再建立一個新的函數(shù)求導，這也是一個常見類型．