Question

9．若函數(shù)$f（x）={log_a}（{x^2}+ax+4）（a＞0，a≠1）$沒有最小值，則a的取值集合是{a|0＜a＜1或a≥4}．

Answer 1

分析 先根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)g（x）=x²+ax+4的單調(diào)性，進(jìn)而分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論：①當(dāng)a＞1時(shí)，考慮對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到要使y=log_a（x²+ax+4）沒有最小值，必須g（x）_min≤0；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)g（x）=x²+ax+4沒有最大值，從而使得函數(shù)y=log_a（x²+ax+4）沒有最小值．最后取這兩種情形的并集即可．

解答 解：令g（x）=x²+ax+4（a＞0，且a≠1），
①當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_ax在R⁺上單調(diào)遞增，
∴要使y=log_a（x²+ax+4）沒有最小值，必須g（x）_min≤0，
∴△=a²-16≥0，
解得a≤-4或a≥4，
∴a≥4；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=x²+ax+4沒有最大值，
從而使得函數(shù)y=log_a（x²+ax+4）沒有最小值，符合題意，
綜上所述：0＜a＜1或a≥4，
故答案為：{a|0＜a＜1或a≥4}．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的值域最值，著重考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，突出分類討論與轉(zhuǎn)化思想的考查，是中檔題．