Question

20．在一次數(shù)學(xué)考試中，第22題和第23題為選做題，規(guī)定每位考生必需且只需在其中選做一題．設(shè)甲、乙、丙3名考生選做每道題的可能性均為$\frac{1}{2}$，且各人的選擇相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求甲、乙2名考生至少有1人選做第23題的概率；
（Ⅱ）設(shè)這3名考生中選做第22題的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （I）利用相互獨立事件的概率公式計算甲乙都不選做23題的概率，再利用概率的性質(zhì)得出答案；
（II）根據(jù)二項分布的概率公式得出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）設(shè)事件A為“甲選做23題”，事件B為“乙選做23題”，則P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，
∴甲乙都沒有選做23題的概率為P（$\overline{A}\overline{B}$）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴甲、乙2名考生至少有1人選做第23題的概率為1-P（$\overline{A}\overline{B}$）=$\frac{3}{4}$．
（II）ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{2}$），
∴P（ξ=0）=（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，P（ξ=3）=（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴E（ξ）=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算，二項分布，屬于中檔題．