Question

10．如圖，兩條公路AP與AQ夾角A為鈍角，其正弦值是$\frac{3}{5}$．甲乙兩人從A點(diǎn)出發(fā)沿著兩條公路進(jìn)行搜救工作，甲沿著公路AP方向，乙沿著公路AQ方向．
（1）當(dāng)甲前進(jìn)5km的時(shí)候到達(dá)P處，同時(shí)乙到達(dá)Q處，通訊測(cè)得甲乙兩人相距$\sqrt{58}$km，求乙在此時(shí)前進(jìn)的距離AQ；
（2）甲在5公里處原地未動(dòng)，乙回頭往A方向行走至M點(diǎn)收到甲發(fā)出的信號(hào)，此時(shí)M點(diǎn)看P、Q兩點(diǎn)的張角為$\frac{3π}{4}$（張角為∠QMP），求甲乙兩人相距的距離MP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）在△APQ中，利用余弦定理即可求出AQ；
（2）在△APM中，利用正弦定理計(jì)算PM．

解答 解：（1）在△APQ中，∵A是鈍角，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=-$\frac{4}{5}$，
由余弦定理得，PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，
即58=25+AQ²+8AQ，
解得：AQ=3或AQ=-11（舍）．
（2）在△APM中，AP=5，∠AMP=$π-\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理得：$\frac{AP}{sin∠AMP}=\frac{PM}{sin∠A}$，
∴PM=$\frac{AP•sinA}{sin∠AMP}$=$\frac{5×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．