Question

【題目】調(diào)查表明，市民對(duì)城市的居住滿(mǎn)意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價(jià)與收入的滿(mǎn)意度有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿(mǎn)意度指標(biāo)分別記為x、y、z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不滿(mǎn)意，1表示基本滿(mǎn)意，2表示滿(mǎn)意，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定居民對(duì)城市的居住滿(mǎn)意度等級(jí)：若ω≥4，則居住滿(mǎn)意度為一級(jí)；若2≤ω≤3，則居住滿(mǎn)意度為二級(jí)；若0≤ω≤1，則居住滿(mǎn)意度為三級(jí)，為了解某城市居民對(duì)該城市的居住滿(mǎn)意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：

人員編號(hào)	1	2	3	4	5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人員編號(hào)	6	7	8	9	10
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（1）在這10名被調(diào)查者中任取兩人，求這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率；
（2）從居住滿(mǎn)意度為一級(jí)的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿(mǎn)意度不是一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量ξ=m﹣n，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：記事件A為“從10被調(diào)查者中任取兩人，這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同”，

則居住滿(mǎn)意指標(biāo)z為0的只有編號(hào)為9的一位，

居住滿(mǎn)意指標(biāo)z為1的有編號(hào)為2，4，5，7，10，共五位，

居住滿(mǎn)意指標(biāo)z為2的有編號(hào)為1，3，6，8，共四位，

從10被調(diào)查者中任取兩人，基本事件總數(shù)n= =10，

這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為 =16，

∴這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率p= ．

（2）解：計(jì)算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：

人員編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
綜合指標(biāo)	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中居住滿(mǎn)意度為一級(jí)的有編號(hào)為1，2，3，5，6，8共六位，則m的可能取值為4，5，6，

居住滿(mǎn)意度不是一級(jí)的有編號(hào)為4，7，9，10共四位，則n的可能取值為1，2，3，

∴ξ=m﹣n的可能取值為1，2，3，4，5，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	p>3	4	5
P

Eξ= =

【解析】（1）記事件A為“從10被調(diào)查者中任取兩人，這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同”，從10被調(diào)查者中任取兩人，先求出基本事件總數(shù)，再求出這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的結(jié)果，由此能求出這兩人的居住滿(mǎn)意度指標(biāo)z相同的概率．（2）由題意ξ=m﹣n的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．