Question

4．已知雙曲線的一個頂點為（2，0），且漸近線的方程為y=±x，那么該雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線的方程為y=±x，可知雙曲線為等軸雙曲線，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，根據頂點為（2，0），即可求得a和b的值，求得雙曲線方程．

解答 解：雙曲線的漸近線的方程為y=±x，
∴雙曲線為等軸雙曲線，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
∵雙曲線的一個頂點為（2，0），c²=a²+b²，
∴a=b=2，
∴雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程的關系，屬于基礎題．