Question

15．已知f（x）=log₂x-log_x2（0＜x＜1），數(shù)列{a_n}滿足f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}（　�。�

• A． 有最大項(xiàng)無(wú)最小項(xiàng)
• B． 有最小項(xiàng)無(wú)最大項(xiàng)
• C． 既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)
• D． 無(wú)最大項(xiàng)也無(wú)最小項(xiàng)

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)f（x），代入化簡(jiǎn)f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=2n，由一元二次方程的解法和0＜2^a_n＜1，求出a_n，化簡(jiǎn)a_n+1判斷出a_n+1＞a_n，可得{a_n}單調(diào)遞增，由單調(diào)性可得答案．

解答 解：由題意得，f（x）=log₂x-log_x2=log₂x-$\frac{1}{lo{g}_{2}^{x}}$，
∴f（2${\;}^{{a}_{n}}$）=${log}_{2}^{{2}^{{a}_{n}}}-\frac{1}{lo{g}_{2}^{{2}^{{a}_{n}}}}$=2n，
則${a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}=2n$，即a_n²-2na_n-1=0，解得a_n=$n±\sqrt{{n}^{2}+1}$，
又0＜2^a_n＜1，則a_n＜0，即a_n=$n-\sqrt{{n}^{2}+1}$=$-\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
∴a_n+1=$-\frac{1}{n+1+\sqrt{（{n+1）}^{2}+1}}$＞a_n，
即a_n+1＞a_n，則{a_n}單調(diào)遞增，
∴數(shù)列{a_n}沒有最大項(xiàng)但有最小項(xiàng)，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．