Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點相同，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點，M為橢圓上任意一點，△MF₁F₂面積的最大值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（m≠0）交橢圓C于A，B兩點．
（i）若直線AF₂與BF₂的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=0，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；
（ii）若直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出拋物線的焦點坐標(biāo)即可得出c，根據(jù)三角形面積的最大值得出b，從而得出a；
（II）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式，可得m=-2k，進(jìn)而得到直線恒過定點（2，0）；
（ii）由等比中項的性質(zhì)得k²=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，運用韋達(dá)定理，可得k，再由點到直線的距離公式和弦長公式，運用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式可得面積的最大值，即有面積的取值范圍．

解答 解：（I）拋物線y²=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），
∴橢圓的焦點為（-1，0），（1，0），
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，|F₁F₂|=2，
∵S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•y_M=y_M≤b，
∴b=1，∴a²=b²+c²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（II）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
∴2kx₁x₂-2m+（m-k）（x₁+x₂）=0，
代入韋達(dá)定理，可得2k•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-2m+（m-k）（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）=0，
化簡可得m=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，即y=k（x-2），
故直線l恒過定點（2，0）．
（ii）由直線l的斜率k是直線OA，OB斜率的等比中項，
∴k²=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，即k²x₁x₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴m²+km（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）=0，
解得k²=$\frac{1}{2}$，
代入△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，
可得-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，且m≠0．
由O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
∴△OAB面積為S=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=2-m²，即m=±1時，S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則△OAB面積的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用直線與圓相切的條件：d=r，考查直線恒過定點的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查三角形的面積的范圍，注意運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和韋達(dá)定理及弦長公式，以及點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．