Question

18．在△ABC中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{2}$，其面積為$\sqrt{2}$，則tan²A•sin2B的最大值是3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算與三角形的面積公式求出C的值，從而求出A+B的值；利用三角恒等變換化tan²A•sin2B為tan²A•$\frac{1{-tan}^{2}A}{1{+tan}^{2}A}$，設(shè)tan²A=t，t∈（0，1）；上式化為t•$\frac{1-t}{1+t}$=$\frac{t（1-t）}{1+t}$，利用基本不等式求出它的最大值．

解答 解：△ABC中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{2}$，
∴bacos（π-C）=-bacosC=2$\sqrt{2}$，
∴abcosC=-2$\sqrt{2}$；
又三角形的面積為$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{2}$，
∴absinC=2$\sqrt{2}$；
∴sinC=-cosC，
∴C=$\frac{3π}{4}$，
∴A+B=$\frac{π}{4}$；
∴tan²A•sin2B=tan²A•sin2（$\frac{π}{4}$-A）
=tan²A•cos2A
=tan²A•（cos²A-sin²A）
=tan²A•$\frac{{cos}^{2}A{-sin}^{2}A}{{sin}^{2}A{+cos}^{2}A}$
=tan²A•$\frac{1{-tan}^{2}A}{1{+tan}^{2}A}$；
設(shè)tan²A=t，則t∈（0，1）；
上式化為t•$\frac{1-t}{1+t}$=$\frac{t（1-t）}{1+t}$
=$\frac{{-（t+1）}^{2}+3（t+1）-2}{t+1}$
=-（t+1）-$\frac{2}{t+1}$+3≤-2•$\sqrt{（t+1）•\frac{2}{t+1}}$+3=3-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t+1=$\sqrt{2}$，即t=$\sqrt{2}$-1時(shí)取“=”；
∴所求的最大值是3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與三角形的面積公式以及三角恒等變換和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．