Question

2．設函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（x+1）．
（1）如果關于的x不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]上有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）-x²-1，若關于x的方程g（x）=p至少有一個實數(shù)解，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，由題意可知：函數(shù)y=f（x）在[0，e-1]上是遞增的，則原不等式等價于f（x）_max≥m在[0，e-1]上成立，即可求得實數(shù)m的取值范圍；
（2）求導，令g'（x）=0，求得函數(shù)的單調(diào)性，則g（x）_min=g（0）=0，由題意可知p≥0，即可求得實數(shù)p的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2x（x+2）}{x+1}≥0$在[0，e-1]上恒成立，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，e-1]上是遞增的，此時，$f{（x）_{max}}=f（e-1）={e^2}-2$，
關于的x不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]上有實數(shù)解，等價于f（x）_max≥m在[0，e-1]上成立，
∴m≤e²-2．　�。�6分）
（2）g（x）=2x-2ln（x+1），求導，$g'（x）=\frac{2x}{x+1}（x＞-1）$
令g'（x）=0，得x=0，易知y=g（x）在（-1，0）上是遞減的，在（0，+∞）上是遞增的，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴關于x的方程g（x）=p至少有一個實數(shù)解，則p的取值范圍為：p≥0，
實數(shù)p的取值范圍[0，+∞）．　　　　　　　�。�12分）

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)與不等式的綜合應用，考查轉化思想，屬于中檔題．