Question

17．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosB，$b=\sqrt{3}$
（1）求證：角A，B，C成等差數(shù)列；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可以證明，
（2）由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入三角形的面積公式即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）證明：由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因為A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B=$\frac{π}{3}$，
∴A+C=π-B=$\frac{2π}{3}$=2B，
∴角A，B，C成等差數(shù)列，
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴3=a²+c²-ac
∴3≥2ac-ac=ac
∴ac≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用和三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生運用知識解決問題的能力，屬于中檔題．