Question

15．已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（2）=1，f（x）在x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）、（3，0）．
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)設(shè)出二次函數(shù)的解析式，求出即可；（2）畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）x＞0時(shí)，f（x）在x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）、（3，0），
設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），將（2，1）代入f（x）求出a=-1，
故x＞0時(shí)，f（x）=-x²+4x-3，
而f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
故x=0時(shí)，f（x）=0，
x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x+3，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+4x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由f（x）的解析式得函數(shù)圖象，如圖所示：
 
結(jié)合圖象得：增區(qū)間（-2，0），（0，2）； 
減區(qū)間（-∞，-2），（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．