【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2，AB=1，E為AD中點(diǎn)，F為CC1中點(diǎn).

（1）求證：AD⊥D1F；

（2）求證：CE//平面AD1F；

（3）求AA1與平面AD1F成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

長方體中有垂直關(guān)系，因此以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，

（1）求出兩條直線的方向向量，由向量垂直得直線垂直；

（2）求直線方向向量，平面的法向量，由方向向量與法向量垂直，證得線面平行；

（3）求直線方向向量，平面的法向量，由直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值，再計(jì)算余弦值．

（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（-1，0，0），=（0，1，-1），

=0，

∴AD⊥D1F.

（2）證明：E（，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），

D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（，-1，0）， =（-1，0，2）， =（-1，1，1），

設(shè)平面AD1F的法向量=（x，y，z），

則，取z=1，得=（2，1，1），

∵==0，CE平面AD1F，

∴CE//平面AD1F.

（3）解：=（0，0，2），平面AD1F的法向量=（2，1，1），

設(shè)AA1與平面AD1F成角為θ，

則sinθ===，

cosθ==.

∴AA1與平面AD1F成角的余弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ點(diǎn)為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)的角平分線PM交橢圓C的長軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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【題目】經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系：．

（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.01)

（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

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【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)若不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，O為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

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【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，數(shù)列{an}滿足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明數(shù)列{}為等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：Cn=，其前n項(xiàng)和為Tn，求T2n.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖：多面體中，四邊形為矩形，二面角為60°，，，，，．

（1）求證：平面；

（2）線段上一點(diǎn)，若銳二面角的正弦值為，求.

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【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線與的交點(diǎn)為，四邊形為梯形， .

（Ⅰ）若，求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，求與平面所成角.

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【題目】長方形中， ， 是中點(diǎn)（圖1）．將△沿折起，使得（圖2）在圖2中：

（1）求證：平面 平面；

（2）在線段上是否存點(diǎn)，使得二面角為大小為，說明理由．

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